G. Garage 解题思路

核心问题分析与数学转化

根据题意，合适的数 $x$ 必须能被表示为 $b^2 - a^2$，其中 $a$ 和 $b$ 是正整数 ($a, b \in \mathbb{Z}^+$) 且 $a < b$.

我们对平方差公式进行因式分解： $$ x = b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) $$

设 $k = b - a$，$m = b + a$. 为了使 $a$ 和 $b$ 为正整数，且 $a>0$，必须满足以下条件：

  1. $x = k \cdot m$
  2. $k < m$
  3. $k$ 和 $m$ 必须具有相同的奇偶性 (因为 $b = (m+k)/2$ 且 $a = (m-k)/2$ 必须是整数)。

2. 排除不合适的数 (Unsuitable Numbers)

只有当 $x$ 不能分解为两个奇偶性相同的因子时，它才是不合适的数。

排除规则 1：基于模 4 性质 ($x \equiv 2 \pmod 4$)

如果一个数 $x$ 除以 $ 4$ 余 $ 2$（即 $x \equiv 2 \pmod 4$，如 $ 2, 6, 10, \dots$），它一定不能被表示为 $b^2 - a^2$。 原因：平方数 $n^2 \equiv 0$ 或 $ 1 \pmod 4$。因此，$b^2 - a^2$ 永远不可能是 $ 2 \pmod 4$. 结论： 所有 $x \equiv 2 \pmod 4$ 的数都不是合适的数。

排除规则 2：特殊情况 $x=1$ 和 $x=4$

  1. $x=1$： 因子只有 $(1, 1)$. 解得 $a = (1-1)/2 = 0$. 由于 $a \ge 1$ 必须是正整数，故 $x=1$ 不合适。
  2. $x=4$： 因子对 $(2, 2)$ 奇偶性相同。解得 $a = (2-2)/2 = 0$. 由于 $a \ge 1$，故 $x=4$ 不合适。

不合适的数列表 $U$： ${1, 2, 4, 6, 10, 14, 18, \dots }$.

3. 算法思路：二分查找

我们使用二分查找来寻找第 $N$ 小的合适数 $X_N$. 我们寻找最小的 $X$ 使得 $CountSuitable(X) \ge N$.

$$ CountSuitable(X) = X - CountUnsuitable(X) $$

$CountUnsuitable(D)$ 的计算逻辑：

  • if (d >= 1) count += 1; 排除 $d=1$.
  • if (d >= 4) count += 1; 排除 $d=4$.
  • if (d >= 2) 部分计算 $d \equiv 2 \pmod 4$ 的数的个数： $$ text{Count of } d \equiv 2 \pmod 4 = \lfloor \frac{D-2}{4} \rfloor + 1 $$

C++ 代码实现

代码通过二分查找，利用 $count_suitable$ 函数定位第 $N$ 个合适数。

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

// 计算在 [1, d] 范围内不合适的数的个数
ll count_unsuitable(ll d) {
    ll count = 0;

    // 排除 d=1
    if (d >= 1) {
       count += 1;
    }

    // 排除 d=4
    if (d >= 4) {
       count += 1;
    }

    // 排除 d = 2, 6, 10, ... (d ≡ 2 mod 4 的数)
    if (d >= 2) {
       // 计算 [2, d] 中 4k + 2 形式的数的个数
       ll count_mod_2 = (d - 2) / 4 + 1;
       count += count_mod_2;
    }

    return count;
}

// 计算在 [1, d] 范围内合适数的个数
ll count_suitable(ll d) {
    if (d < 3) return 0;

    ll unsuitable_count = count_unsuitable(d);
    return d - unsuitable_count;
}

void solve() {

    ll N;
    cin >> N;

    ll low = 1;
    // 上限可以保守估计为 4N，因为不合适数比例约为 1/4
    ll high = N * 4 + 5; 
    
    ll ans = high;

    while (low <= high) {
       ll mid = low + (high - low) / 2;
        
       if (mid < 1) {
          low = 1;
          continue;
       }

       ll suitable_count = count_suitable(mid);

       if (suitable_count >= N) {
          // mid 是一个可能的答案，尝试更小的值
          ans = mid;
          high = mid - 1;
       } else {
          // mid 太小，合适的数数量不足 N
          low = mid + 1;
       }
    }

    cout << ans << '\n';
}

int main() {
    
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int t = 1;

    while (t--) {
       solve();
    }

}